Рівняння Лотки — Вольтерри

Автоколивання численності хижаків (червона крива) та жертв (синя крива)

Рівня́ння Ло́тки — Вольте́рри або рівня́ння хижа́к — же́ртва — система двох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, яка описує кінетику чисельності популяції з одним типом хижаків і одним типом жертв. Характерною особливістю рівннянь є те, що їхнім розв'язком є автоколивання. Рівняння запропонували незалежно Альфред Джеймс Лотка та Віто Вольтерра, в 1925 та 1926 роках, відповідно.

Рівняння мають вигляд

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=x\cdot (\alpha -\beta \cdot y)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-y\cdot (\gamma -\delta \cdot x)}$

де ${\displaystyle x}$ — кількість жертв, наприклад, зайців, ${\displaystyle y}$ — кількість хижаків, наприклад, вовків, ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ — певні параметри.

У рівняння входять такі процеси: розмноження жертв та їхня гибель в результаті поїдання хижаками, розмноження та вимирання хижаків. Вважається, що розмноження хижаків пропорційне кількості їжі, тобто, кількості потенційних жертв у популяції.

Стаціонарні точки

Система рівнянь має дві стаціонарні точки:

1. ${\displaystyle x=0,\quad y=0}$ — ця точка відповідає відсутності в популяції як жертв, так і хижаків.
2. ${\displaystyle x=\gamma /\delta ,\quad y=\alpha /\beta }$

Аналіз стійкості стаціонарних точок показує, що перша з них (нульова) є сідловою, а друга — фокусом. Показник Ляпунова для фокуса чисто уявний, тому з лінійного аналізу зробити висновок про стійкість чи нестійкість фокуса неможливо. Однак для рівнянь Лотка-Вольтерра існує інтеграл руху, який показує, що фазові траєкторії — замкнуті криві, всередині яких знаходиться фокус.

Інтеграл руху

Фазові траєкторії

Для розв'язків рівняння Лотки-Вольтерра існує інтеграл руху

${\displaystyle y^{\alpha }e^{-\beta y}\,x^{\gamma }e^{-\delta x}={\text{const}}.}$

Типові фазові траєкторії показані на малюнку праворуч. При значному розмноженні жертв створюються умови для розмноження хижаків завдяки доступності їжі. Але розмноження хижаків призводить до зменшення числа жертв. Коли число жертв сильно падає, хижаки теж гинуть через недостатню кількість їжі. Тільки тоді, коли кількість хижаків досягає мінімуму, популяція жертв знову починає зростати.

Існування інтегралу руху призводить до того, що величини популяцій визначаються початковими умовами. В цій задачі немає граничного циклу, який був би атрактором для фазових траєкторій. Цикли в задачі хижак-жертва мають байдужу стійкість.

Узагальнена модель Лотки-Вольтерри

Модель Лотки-Вольтерра може бути узагальнена для багатьох популяцій (${\displaystyle N}$). Для них ми маємо такі рівняння:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}=\left(a_{i}-\sum _{j=1}^{N}{b_{ij}\cdot y_{j}}\right)\cdot x_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y_{i}}{\mathrm {d} t}}=\left(\sum _{j=1}^{N}c_{ij}\cdot x_{j}-d_{i}\right)\cdot y_{i}}$

де параметри ${\displaystyle a_{i},b_{ij},c_{ij},d_{i}}$ мають такий же сенс як у моделі із двома видами організмів.

Реалістична модель «хижак-жертва»

На графіку показано зміна чисельності населення жертв і хижаків у часі.

Головний недолік моделі Лотки — Вольтерри полягає у тому, що при нульовій чисельності хижаків популяція жертв необмежено зростає^{[джерело?]}. Таким чином, у більш реалістичних моделях, що описують це явище, має бути пропускна здатність ${\displaystyle K}$ — максимальна кількість осіб, якої може досягати розмір популяції. Рівняння, що враховує цей чинник^{[джерело?]}:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=x\cdot \left(r\cdot \left(1-{\frac {x}{K}}\right)-{\frac {k\cdot y}{x+D}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=y\cdot \left(s\cdot \left(1-{\frac {h\cdot y}{x}}\right)\right)}$

де ${\displaystyle D,h,s}$ — перебувають у постійній залежності від моделі.

Див. також

• Рівняння Ардіті-Гінзбурга
• Матриця угрупування

Джерела

Література

• Сугаков В. Й. Основи синерґетики. — К. : Обереги, 2001. — 287 с.
• Хакен Г. Синергетика. — М. : Мир, 1980. — 406 с.